Question

11．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m（m∈R），將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后得到y(tǒng)=g（x）的圖象，且y=g（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{4}}]$內(nèi)的最大值為$\sqrt{2}$．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)y=g（x）與直線y=1相鄰交點(diǎn)間距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二倍角公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式，再由平移變換可得g（x）的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的最值，即可得到所求m的值；
（2）解方程$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）=1$，即可得到所求相鄰交點(diǎn)間距離的最小值．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m=sin2x-cos2x-1+m=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1+m$，
所以，g（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1+m$，2分
∵x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$，
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$時(shí)，即$x=\frac{π}{8}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值$\sqrt{2}-1+m=\sqrt{2}$，
則m=1． 5分
（2）∴g（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）=1$，
$sin（2x+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{4}$或$2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{3π}{4}$，7分
解得x₁=k₁π或${x_2}={k_2}π+\frac{π}{4}$，k₁，k₂∈Z.8分
因?yàn)?|{{x_1}-{x_2}}|=|{（{k_1}-{k_2}）π-\frac{π}{4}}|≥\frac{π}{4}$，當(dāng)k₁=k₂時(shí)取等號(hào)，
∴相鄰交點(diǎn)間距離的最小值是$\frac{π}{4}$.10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．