如圖，在四棱錐M-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且AM和AB、AD的夾角都是60°，N是CM的中點，設
a
=
AB
，
b
=
AD
，
c
=A
M
，試以
a
，
b
，
c
為基向量表示出向量
BN
，并求BN的長．
考點：點、線、面間的距離計算
專題：空間位置關系與距離
分析：由已知條件推導出
BN
=
1
2
(
BC
+
BM
)=-
1
2
a
+
1
2
b
+
1
2
c
．由已知條件知|
a
|=|
b
|=2，|
c
|=3，
a
•
b
=0，
a
•
c
=
b
•
c
=3，由此利用
BN
2=（-
1
2
a
+
1
2
b
+
1
2
c
）2能求出BN的長．
解答： 解：∵N是CM的中點，設
a
=
AB
，
b
=
AD
，
c
=A
M
，
底面ABCD是邊長為2的正方形，
∴
BN
=
1
2
(
BC
+
BM
)
=
1
2
(
AD
+
BA
+
AM
)
=-
1
2
a
+
1
2
b
+
1
2
c
．
∵在四棱錐M-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，
側(cè)棱AM的長為3，且AM和AB、AD的夾角都是60°，
∴|
a
|=|
b
|=2，|
c
|=3，
a
•
b
=0，
a
•
c
=2×3×cos60°=3，
b
•
c
=2×3×cos60°=3，
∴
BN
2=（-
1
2
a
+
1
2
b
+
1
2
c
）2
=1+1+
9
4
-
1
2
×3+
1
2
×3=
17
4
，
∴|
BN
|=
17
2
，即BN的長為
17
2
．
點評：本題考查向量的表示和線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知單位向量
i
，
j
，
k
兩兩所成的夾角均為θ（0＜θ＜π，且θ≠
π
2
），若空間向量
a
滿足
a
=x
i
+y
j
+z
k
（x，y，z∈R），則有序?qū)崝?shù)對（x，y，z）稱為向量
a
在“仿射”坐標系Oxyz（O為坐標原點）下的“仿射”坐標，記作
a
=（x，y，z）θ．有下列命題：
①已知
a
=（2，0，-1）θ，
b
=（1，0，2）θ，則
a
•
b
=0；
②已知
a
=(x，y，0)
π
3
，
b
=(0，0，z)
π
3
，其中xyz≠0，則當且僅當x=y時，向量
a
•
b
的夾角取得最小值；
③已知
a
=（x1，y1，z1）θ，
b
=（x2，y2，z2）θ，則
a
-
b
=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)θ；
④已知
OA
=(1，0，0)
π
3
，
OB
=(0，1，0)
π
3
，
OC
=(0，0，1)
π
3
，則三棱錐O-ABC體積為V=
2
12
．
其中真命題有
 
（填寫真命題的所有序號）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于平面α和兩條不同的直線m，n，下列命題是真命題的是（　�。�
A、若m⊥α，n⊥α，則m∥n
B、若m∥α，n∥α則m∥n
C、若m⊥α，m⊥n則n∥α
D、若m，n與α所成的角相等，則m∥n

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合U=R，集合A={x|-l≤x≤3}，集合B=|x|log2x＜2}，則A∩B=（　�。�
A、{x|1≤x≤3}
B、{x|-1≤x≤3}
C、{x|0＜x≤3}
D、{x|-1≤x＜0}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（m，n），
b
=（cosx，sinx），函數(shù)f（x）=
a
•
b
-2．
（1）設m=n=1，x為某三角形的內(nèi)角，求f（x）=-1時x的值；
（2）設m=4，n=3，當函數(shù)f（x）取最大值時，求cos2x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對甲、乙兩名籃球運動員分別在100場比賽中的得分情況進行統(tǒng)計，做出甲的得分頻率分布直方圖如圖所示，列出乙的得分統(tǒng)計表如下：
分值[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）
場數(shù)10204030
（Ⅰ）估計甲在一場比賽中得分不低于20分的概率；
（Ⅱ）判斷甲、乙兩名運動員哪個成績更穩(wěn)定；（結(jié)論不要求證明）
（Ⅲ）在甲所進行的100場比賽中，以每場比賽得分所在區(qū)間中點的橫坐標為這場比賽的得分，試計算甲每場比賽的平均得分．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），對定義域內(nèi)的任意x，滿足f（x）+f（-x）=0，當x＜-1時，f(x)=
1+ln(-x-1)
x+a
（a為常），且x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點，
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）如果當x≥2時，不等式f(x)≥
m
x
恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（Ⅲ）求證：n-2(
1
2
+
2
3
+
3
4
+…+
n
n+1
)＜ln(n+1)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f1（x）=
2
1+x
，若fn+1（x）=f1[fn（x）]，an=
fn(0)-1
fn(0)+2
，其中n∈N*．
（1）求a1；
（2）求證：{an}為等比數(shù)列，并求其通項公式；
（3）若T2n=a1+2a2+3a3+…2na2n，Qn=
4n2+n
36n2+36n+9
．其中n∈N*，試比較T2n與Qn的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n值是
 
．

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