Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥側(cè)面ABB₁A₁，AC=AB=，∠CAA₁=∠BAA₁=135°．
（1）求∠BAC的大�。�
（2）若底面△ABC的重心為G，側(cè)棱AA₁=4，求GC₁與平面A₁B₁C₁所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）作CO⊥AA₁交AA₁的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O，連接BO，則CO⊥平面ABB₁A₁，先證△OAC≌△BAO，則BO⊥AA₁，根據(jù)公式cos∠CAB=cos∠OAC•cos∠OAB可求出∠CAB的大�。�
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OA、OC分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出向量和平面A₁B₁C₁的法向量，然后根據(jù)cos＜，＞=，從而求出GC₁與平面A₁B₁C₁所成角的大小．
解答：解：作CO⊥AA₁交AA₁的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O，連接BO，則CO⊥平面ABB₁A₁
根據(jù)△OAC≌△BAO，所以BO⊥AA₁，
（1）由cos∠CAB=cos∠OAC•cos∠OAB
知cos∠CAB=coa²45°=
∴∠CAB=60°
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz
則A（0，1，0），B（1，0，0），C（0，0，1）
∴G（，，），B₁（1，4，0），A₁（0，5，0），C₁（0，4，1）
∴=（-，，）
設(shè)平面A₁B₁C₁的法向量為=（x，y，z）
由⇒x=y=z
取n=（1，1，1）
∵cos＜，＞=
∴GC₁與平面A₁B₁C₁所成角的大小為-arccos，即arcsin．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用空間向量求直線(xiàn)與平面的夾角，同時(shí)考查了計(jì)算能力和論證推理的能力，屬于中檔題．