Question

如圖，已知兩點A（-，0）、B（，0），△ABC的內(nèi)切圓的圓心在直線x=2上移動．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點M（2，0）作兩條射線，分別交（Ⅰ）中所求軌跡于P、Q兩點，且=0，求證：直線PQ必過定點．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，根據(jù)平面幾何知識可知C的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（不含右頂點），
由|CA|-|CB|=|AD|-|BD|求出實半軸，結(jié)合b²=c²-a²求出b²，則C點的軌跡可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線PQ與x軸的交點，由此寫出直線PQ所在直線方程，和雙曲線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到P，Q兩點的縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合=0列式求出PQ與x軸交點的橫坐標(biāo)為定值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)△ABC內(nèi)切圓切AB邊于點D，
則．
∴點C的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（不含右頂點），
由a=2，c=，得．
所以點C的方程為；
（Ⅱ）設(shè)PQ：x=my+a（a＞2），代入，
得（m²-4）y²+2amy+a²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則．
∵
=．
∴．
化簡，得3a²-16a+20=0，解得a=2（舍去）或．
故直線PQ必過定點．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運算推理的能力，是難題．