Question

如圖，已知兩點(diǎn)A（-

5

，0）、B（

5

，0），△ABC的內(nèi)切圓的圓心在直線x=2上移動．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（2，0）作兩條射線，分別交（Ⅰ）中所求軌跡于P、Q兩點(diǎn)，且

MP

•

MQ

=0，求證：直線PQ必過定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，根據(jù)平面幾何知識可知C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支（不含右頂點(diǎn)），
由|CA|-|CB|=|AD|-|BD|求出實(shí)半軸，結(jié)合b²=c²-a²求出b²，則C點(diǎn)的軌跡可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線PQ與x軸的交點(diǎn)，由此寫出直線PQ所在直線方程，和雙曲線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到P，Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合

MP

•

MQ

=0列式求出PQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)△ABC內(nèi)切圓切AB邊于點(diǎn)D，
則|CA|-|CB|=|AD|-|BD|=(

5

+2)-(

5

-2)=4＜2

5

．
∴點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支（不含右頂點(diǎn)），
由a=2，c=

5

，得b2=c2-a2=(

5

)2-2=1．
所以點(diǎn)C的方程為

x2

4

-y2=1(x＞2)；
（Ⅱ）設(shè)PQ：x=my+a（a＞2），代入

x2

4

-y2=1，
得（m²-4）y²+2amy+a²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y1+y2=-

2am

m2-4

，y1y2=

a2-4

m2-4

．
∵

MP

•

MQ

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1+a-2)(my2+a-2)+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(a-2)(y1+y2)+(a-2)2=0．
∴

(m2+1)(a2-4)

m2-4

-

2am2(a-2)

m2-4

+(a-2)2=0．
化簡，得3a²-16a+20=0，解得a=2（舍去）或a=

10

3

．
故直線PQ必過定點(diǎn)(

10

3

，0)．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題．