Question

【題目】若數(shù)列滿足：對(duì)于，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列．

（Ⅰ）若，是公差為8的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，求的前項(xiàng)之和；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有．

①求證：數(shù)列為“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（）?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）① 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；②

【解析】

試題（Ⅰ）由新定義知：前項(xiàng)之和為兩等差數(shù)列之和，一個(gè)是首項(xiàng)為3，公差為8的等差數(shù)列前8項(xiàng)和，另一個(gè)是首項(xiàng)為17，公差為8的等差數(shù)列前7項(xiàng)和，所以前項(xiàng)之和（Ⅱ）①根據(jù)新定義知：證明目標(biāo)為，

，相減得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，依次構(gòu)成首項(xiàng)為a，公差為2的等差數(shù)列,, 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，依次構(gòu)成首項(xiàng)為2-a，公差為2的等差數(shù)列,②先求和：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，，，， 由，則，解得．

試題解析：（Ⅰ）易得數(shù)列

前項(xiàng)之和

（Ⅱ）①（）（A）

（B）

（B）（A）得（）．

所以，為公差為2的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列．

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；

②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

．

故當(dāng)時(shí)，，，，

由，則，解得．

所以存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（）