Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₁₉＞0，S₂₀＜0，且，則在數(shù)列{b_n}的前19項(xiàng)中，最大的項(xiàng)是第________項(xiàng)．

Answer 1

10
分析：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式分別表示出S₁₉＞0，S₂₀＜0，然后再分別利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a₁₀大于0且a₁₁小于0，得到此數(shù)列為遞減數(shù)列，前10項(xiàng)為正，11項(xiàng)及11項(xiàng)以后為負(fù)，由已知的不等式得到數(shù)列的前1項(xiàng)和，前2項(xiàng)的和，…，前19項(xiàng)的和為正，前20項(xiàng)的和，前21項(xiàng)的和，…，的和為負(fù)，所以得到b₁₁及以后的各項(xiàng)都為負(fù)，即可得到b₁₀為最大項(xiàng)，即可得到n的值．
解答：由S₁₉==19a₁₀＞0，得到a₁₀＞0；由S₂₀==10（a₁₀+a₁₁）＜0，得到a₁₁＜0，
∴等差數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列．
則a₁，a₂，…，a₁₀為正，a₁₁，a₁₂，…為負(fù)；S₁，S₂，…，S₁₉為正，S₂₀，S₂₁，…為負(fù)，
則＜0，＜0，…，＜0，
又S₁₀＞S₁＞0，a₁＞a₁₀＞0，得到＞＞0，故b₁₀=最大．
故答案為：10．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，是一道綜合題．