f（x）=1+
a
2x+1
（a≠0）
（1）若f（0）=0，求a的值，并證明：f（x）為奇函數(shù)；
（2）用單調(diào)性的定義判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）在（1）的條件下，若f（x）＜m恒成立，求m的最小值．
考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間
專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）由f（0）=1+
a
2
=0求出a=-2，代入得f（x）=1-
2
2x+1
，從而判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論；
（3）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．
解答： 解：（1）∵f（0）=1+
a
2
=0，∴a=-2，
故f（x）=1-
2
2x+1
，
其定義域?yàn)镽，且對(duì)任意的x∈R，
f（-x）=1-
2
2-x+1
=
1-2x
2x+1
=-1+
2
2x+1
=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=1+
a
2x1+1
-1-
a
2x2+1

=（-a）•
2x1-2x2
(2x1+1)(2x2+1)
；
∵x1＜x2，
∴0＜2x1＜2x2；
故
2x1-2x2
(2x1+1)(2x2+1)
＜0，
則當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)＞0時(shí)，f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）由題意，f（x）=1-
2
2x+1
在R上是增函數(shù)，
則由2x+1＞1可得，
f（x）＜1，
故若f（x）＜m恒成立，
則m≥1，故m的最小值為1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知，等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3（
1
2
）n-1，且bn=a3n-2+a3n-1+a3n，求證：{bn}是等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

作函數(shù)y=
1
tanx
•sinx的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題：
p1：?a1∈R，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；
P2：?a1∈R，數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；
p3：?a1∈R，使得數(shù)列{n2+an]是遞減數(shù)列；
p4：?a1∈R，使得數(shù)列{
an
n
]是遞減數(shù)列；
其中真命題為（　�。�
A、p1，p2
B、p3，p4
C、p2，p3
D、p1，p4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+a2=15，a42=9a1a5．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an，數(shù)列{
1
bn
}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＞
39
20
，試求n的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

三棱錐P-ABC中△PAC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E別為AB、PB的中點(diǎn)．
（1）求證AC⊥PD；
（2）求三棱錐P-CDE與三棱錐P-ABC的體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an]滿足an2-an-12=p（p為常數(shù)，n≥2，n∈N*），則稱(chēng)數(shù)列{an}為等方數(shù)列，p為公方差，已知正數(shù)等方數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1且a1，a2，a5成等比數(shù)列，a1≠a2，設(shè)集合A={Tn|Tn=
1
a1+a2
+
1
a2+a3
+…+
1
an+an+1
，1≤n≤100，n∈N*}，取A的非空子集B，若B的元素都是整數(shù)，則B為“夢(mèng)幻子集”，那么集合A中的“夢(mèng)幻子集”的個(gè)數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，則稱(chēng)f（x）為單函數(shù)，例如，函數(shù)f（x）=x+1（x∈R）是單函數(shù)，下列命題：
①函數(shù)f（x）=x2-2x（x∈R）是函數(shù)；
②若f（x）=
log2x，x≥2
x-1，x＜2
是單函數(shù)；
③若f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；
④若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中真命題是
 
（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)（x，y）滿足約束條件
x+y-2≥0
3x-y-2≥0
x≤3
，則x2+y2的最小值是
 
．

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