命題A:一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根;命題B:ac<0,那么B是A的( 。
分析:根據(jù)韋達(dá)定理,我們先判斷出命題A:一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根⇒命題B:ac<0,為真命題,即B是A的必要條件;再由一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△符號(hào)的關(guān)系,及韋達(dá)定理,判斷出命題B:ac<0⇒命題A:一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根也為真命題,進(jìn)而得到答案.
解答:解:若一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根
由韋達(dá)定理可得,此時(shí)x1•x2=
c
a
<0,
此時(shí)ac<0
即B是A的必要條件;
若ac<0,
此時(shí)一元二次方程ax2+bx+c=0的△>0,此時(shí)方程有兩個(gè)不等的根
由韋達(dá)定理可得此時(shí)x1•x2=
c
a
<0
即方程兩個(gè)根的符號(hào)相反
即一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根
故B是A的充分條件
故B是A的充要條件
故選C
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是必要條件、充分條件與充要條件的判斷,一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△符號(hào)的關(guān)系,及韋達(dá)定理,其中分別判斷命題A⇒命題B與命題B⇒命題A的真假,是解答本題的關(guān)鍵.
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設(shè)命題p:m≥
1
4
,命題q:一元二次方程x2+x+m=0有實(shí)數(shù)解.則¬p是q的( 。

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命題A:一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根;命題B:ac<0,那么B是A的


  1. A.
    充分不必要條件
  2. B.
    必要不充分條件
  3. C.
    充要條件
  4. D.
    既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2005年重慶市高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷(解析版) 題型:選擇題

命題A:一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根;命題B:ac<0,那么B是A的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

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