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8.如圖,正三棱錐P-ABC,已知AB=2,PA=3
(1)求此三棱錐體積
(2)若M是側面PBC上一點,試在面PBC上過點M畫一條與棱PA垂直的線段,并說明理由.

分析 (1)過P作PO⊥平面ABC,垂足為O,由正三棱錐的性質可得O為底面三角形的中心,求解三角形可得AD,進一步得到AO,求得PO,再由棱錐體積公式求得正三棱錐P-ABC的體積;
(2)由(1)結合線面垂直的判定可得BC⊥平面PAO,得到BC⊥PA,過M作線段EF平行于BC,則EF為所求.

解答 解:(1)如圖,

過P作PO⊥平面ABC,垂足為O,
∵P-ABC為正三棱錐,∴O為底面正三角形的中心,
連接AO并延長交BC于D,則AD⊥BC,且AD=3,
AO=233,則PO=322332=233=693
VPABC=13×12×2×3×693=233;
(2)過M作線段EF平行于BC,則EF為所求.
理由:∵P-ABC為正三棱錐,過P作PO⊥平面ABC,垂足為O,
∴O為底面正三角形的中心,則PO⊥BC,AO⊥BC,
∴BC⊥平面PAO,則BC⊥PA,
∵EF∥BC,∴EF⊥PA.

點評 本題考查線面垂直的判定和性質,考查空間想象能力和思維能力,考查棱錐體積的求法,是中檔題.

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