已知三次函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a、b為實數(shù).
(1)若曲線y=f(x)在點(a+1,f(a+1))處切線的斜率為12,求a的值;
(2)若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,且1<a<2,求函數(shù)f(x)的解析式.
【答案】分析:(1)求出x=a+1處的導數(shù)值即切線的斜率,令其為12,列出方程,求出a的值.
(2)據(jù)導函數(shù)的形式設(shè)出f(x),求出導函數(shù)為0的兩個根,判斷出根與定義域的關(guān)系,求出函數(shù)的最值,列出方程求出f(x)的解析式.
解答:解:(1)由導數(shù)的幾何意義f′(a+1)=12
∴3(a+1)2-3a(a+1)=12
∴3a=9∴a=3
(2)∵f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b

由f′(x)=3x(x-a)=0得x1=0,x2=a
∵x∈[-1,1],1<a<2
∴當x∈[-1,0)時,f′(x)>0,f(x)遞增;當x∈(0,1]時,f′(x)<0,f(x)遞減.
∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為f(0)
∵f(0)=b,
∴b=1
,
∴f(-1)<f(1)
∴f(-1)是函數(shù)f(x)的最小值,


∴f(x)=x3-2x2+1
點評:曲線在切點處的導數(shù)值為曲線的切線斜率;求函數(shù)的最值,一定要注意導數(shù)為0的根與定義域的關(guān)系.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)過點(-1,2)且在點(1,f(1))處的切線方程為y+2=0,求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若對于區(qū)間[-3,2]上任意兩個自變量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t,求實數(shù)t的最小值;
(Ⅲ)當-1≤x≤1時,|f′(x)|≤1,試求a的最大值,并求a取得最大值時f(x)的表達式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

19、已知三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時取極值,且f(-2)=-4.
(I)求函數(shù)y=f(x)的表達式;
(II)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅲ)若函數(shù)g(x)=f(x-m)+4m(m>0)在區(qū)間[m-3,n]上的值域為[-4,16],試求m、n應(yīng)滿足的條件.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a,b,c,d∈R),命題p:y=f(x)是R上的單調(diào)函數(shù);命題q:y=f(x)的圖象與x軸恰有一個交點.則p是q的( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時取極值,且f(-2)=-4.
(1)求函數(shù)f(x)的表達式; 
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)求函數(shù)在區(qū)間[-2,5]的最值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則
f′(-3)f′(1)
=
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案