Question

【題目】已知有窮數(shù)列共有項(xiàng)，首項(xiàng),設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且其中常數(shù).

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列

（2）若，數(shù)列滿(mǎn)足，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式

（3）若（2）中的數(shù)列滿(mǎn)足不等式，求出的值

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）

（3）

【解析】

（1）利用分類(lèi)討論的思想，分別對(duì)時(shí)和時(shí)進(jìn)行討論，求得與的關(guān)系，即可求解；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和條件得的表達(dá)式，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）利用分類(lèi)討論對(duì)的大小進(jìn)行判斷，再結(jié)合不等式去絕對(duì)值，變形得關(guān)于的不等式，即可求解．

（1）當(dāng)時(shí)，，則；

當(dāng)時(shí)，，，

，

，

數(shù)列是等比數(shù)列．

（2）由（1）得，

，

，

（3）設(shè)，解得，又是正整數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

原式

．

當(dāng)，得，，又，

當(dāng)，3，4，5，6，7時(shí)，

原不等式成立．