Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

4

5

，則C的離心率e=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接BF′，AF′．根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF′是矩形．即可得到a，c，進(jìn)而求得離心率．

解答： 解：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，
從而可得（|BF|-8）²=0，解得|BF|=8．
設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接BF′，AF′．根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6，|FF′|=10．
∴2a=|8-6|，2c=10，解得a=1，c=5．
∴e=

c

a

=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握余弦定理、雙曲線的定義、對(duì)稱性、離心率、矩形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．