Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

11

10

，求cosx值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由向量和三角函數(shù)的運(yùn)算可得f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

，由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得單調(diào)遞增區(qū)間，同理可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由已知可得sin（x-

π

6

）=

3

5

，進(jìn)而可得cos（x-

π

6

）=

4

5

，代入cosx=

3

2

cos（x-

π

6

）-

1

2

sin（x-

π

6

）計(jì)算可得．

解答： 解：（1）∵

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），
∴f（x）=

m

•

n

+1=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

+1
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+

1

2

=sin（x-

π

6

）+

1

2

，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈Z，
同理可得單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈Z，
（2）由（1）知f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

=

11

10

，
∴sin（x-

π

6

）=

3

5

，又∵x∈[0，

π

2

]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，∴cos（x-

π

6

）=

4

5

，
∴cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]
=

3

2

cos（x-

π

6

）-

1

2

sin（x-

π

6

）
=

3

2

×

4

5

-

1

2

×

3

5

=

4 3 -3

10

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．