Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)為P（0，4），焦點(diǎn)為F（0，

15

4

），直線l與拋物線C交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，且∠MPN=90°
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）證明直線MN過一定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,恒過定點(diǎn)的直線

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知設(shè)拋物線方程為x²=-2p（y-4），

p

2

=4-

15

4

=

1

4

，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l為y=kx+b，（b≠4）聯(lián)立

y=kx+b x2=-y+4

，得x²+kx+b-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識(shí)，結(jié)合已知條件能證明直線MN過定點(diǎn)（0，3）．

解答： （Ⅰ）解：∵拋物線C的頂點(diǎn)為P（0，4），焦點(diǎn)為F（0，

15

4

），
∴設(shè)拋物線方程為x²=-2p（y-4），p＞0，
由已知得

p

2

=4-

15

4

=

1

4

，解得p=

1

2

，
∴拋物線C的方程為x²=-（y-4）．
（Ⅱ）證明：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l為y=kx+b，（b≠4）
聯(lián)立

y=kx+b x2=-y+4

，得x²+kx+b-4=0，
△=k²-4b+16＞0，
設(shè)M（x₁，-x12+4），N（x₂，-x22+4），則x₁+x₂=-k，x₁x₂=b-4，
∵∠MPN=90°，
∴

PM

•

PN

=（x₁，y₁-4）•（x₂，y₂-4）
=x₁x₂+（y₁-4）（y₂-4）=x₁x₂+（x₁x₂）²=0，
∴b-4+（b-4）²=0，∵b≠4，解得b=3，∴直線l為：y=kx+3，
∴直線MN過定點(diǎn)（0，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程過定點(diǎn)坐標(biāo)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．