已知直角梯形中，是邊長為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側(cè)．

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值．

 

【答案】

(Ⅰ) 詳見解析；(Ⅱ ) 平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為．

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 在直角梯形ABCD中，由平面幾何知識，又，可證得平面；(Ⅱ ) 建立空間直角坐標系，利用法向量可求出二面角的余弦值．

試題解析：(Ⅰ)證明：在直角梯形ABCD中，可算得

根據(jù)勾股定理可得，即：，又，平面；

(Ⅱ) 以C為原點，CE為y軸，CB為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則,，，，作，因為面面，易知，，且，

從平面圖形中可知：，易知面CDE的法向量為

設(shè)面PAD的法向量為，且．

解得

故所求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為．

考點：1、線面垂直的判定，2、二面角的求法．

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）已知直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD⊥AB，△CDE是邊長為2的等邊三角形，AB=5．沿CE將△BCE折起，使B至B′處，且B′C⊥DE；然后再將△ADE沿DE折起，使A至A′處，且面A′DE⊥面CDE，△B′CE和△A′DE在面CDE的同側(cè)．

（Ⅰ） 求證：B′C⊥平面CDE；
（Ⅱ） 求平面B′A′D與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西省景德鎮(zhèn)市高三下學期第三次（期中）質(zhì)檢理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知直角梯形中，，，，是等邊三角形，平面⊥平面.

（1）求二面角的余弦值；

（2）求到平面的距離．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直角梯形中，，，

，是等邊三角形，平面⊥平面.

（1）求二面角的余弦值；

（2）求到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直角梯形中，，，，是等邊三角形，平面⊥平面．

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積．

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