證明下列命題：
（1）若函數(shù)f（x）可導且為周期函數(shù)，則f′（x）也為周期函數(shù)；
（2）可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)．
考點：簡單復合函數(shù)的導數(shù),導數(shù)的運算
專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用
分析：（1）利用復合函數(shù)導數(shù)公式及周期性定義即可證明；
（2）利用復合函數(shù)導數(shù)公式及奇偶性定義即可證明；
解答： 證明：（1）設f（x）的周期為T，則f（x）=f（x+T）．
∴f′（x）=[f（x+T）]′=f′（x+T）•（x+T）′
=f′（x+T），即f′（x）為周期函數(shù)且周期與f（x）的周期相同．…（5分）
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∴[f（-x）]′=[-f（x）]′．
∴f′（-x）•（-x）′=-f′（x）．
∴f′（-x）=f′（x），即f′（x）為偶函數(shù)        …（10分）
點評：本題考查復合函數(shù)的求導公式及周期性及奇偶性的證明，有一定的綜合性
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集為M，a、b∈M，
（1）證明：|
1
3
a+
1
6
b|＜
1
4
；
（2）比較|1-4ab|與2|a-b|的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直三角棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=
2
，AA′=1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．
（1）證明：MN∥平面A′ACC′；
（2）求平面A′MN與平面MNC的夾角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=sin2（2x+
π
3
）的導數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)z=（2m2-3m-2）+（m2-3m+2）i（其中i為虛數(shù)單位）
（1）當復數(shù)z是純虛數(shù)時，求實數(shù)m的值；
（2）若復數(shù)z對應的點在第三象限，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)ω=（m2-2m-3）+（m2-m-12）i，（m∈R，i為虛單位）．
（1）若ω為實數(shù)，求m的值；
（2）若復數(shù)ω對應的點在第四象限，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sinx+2
3
cosx，（x∈R）
①求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
②求f（x）的單調遞區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1=2，2an=1+2anan+1，bn=an-1（bn≠0）．
（Ⅰ）求證數(shù)列{
1
bn
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令Cn=bnbn+1，Sn為數(shù)列{Cn}的前n項和，求證：Sn＜1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

二項式（ax-
3
6
）3（a＞0）的展開式的第二項的系數(shù)為-
3
2
，則
∫
a
-2
x2dx=
 
．

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