Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，且，.

（1）證明：面；

（2）在上是否存在點，使平面，若存在，請計算的值，若不存在，請說明理由；

（3）若，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，（3）

【解析】

（1）可通過題干中的線段關系求出對應的各底邊弦長，得到，通過線面垂直的判定定理結合，可證，又由三邊關系可得，進而得證；

（2）可連接，交于點，連接，利用相似三角形關系可確定點應為上靠近的三等分點，進而求證；

（3）在線段上取點，使，則，作于，連接通過三垂線法得證，再結合等體積法，即可求解到平面的距離.

（1）∵在底面中，，，且，

，，，

又，，平面，平面，

平面，又平面，，

，，.

又，，平面，平面，

平面.

（2）存在點，當時，使平面，

連接，交于點，

因為，所以，所以在中，要使，則即可，所以，在上存在點，當時平面

（3）在線段上取點，使，則，

又由（1）得平而，平面，

又平面，，

作于，連接

又，平面，平面，

平面，

又平面，

，

設點到平面的距離為，則由得.

∴點到平面的距離.