Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-

1

x

，（其中a∈R）
（1）設h（x）=f（x）+x，討論h（x）的單調性．
（2）若函數(shù)f（x）有唯一的零點，求a取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由h′（x）=

a

x

+

1

x2

+1=

x2+ax+1

x2

，利用單調性與導數(shù)值的關系，通過討論a的值得出函數(shù)的單調性；
（2）利用根的存在性定理判斷函數(shù)的零點以及利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及最值，通過分類討論求出字母的取值范圍．

解答： 解：（1）h（x）=alnx-

1

x

+x，定義域為（0，+∞），----------1分
h′（x）=

a

x

+

1

x2

+1=

x2+ax+1

x2

--------------------------------2分
令g（x）=x²+ax+1，判別式△=a²-4，
當△≤0即-2≤a≤2時，g（x）≥0，h′（x）≥0，此時h（x）在（0，+∞）上單調遞增；-----4分
當△＞0即a＜-2或a＞2時，由g（x）=0得x₁=

-a- a2-4

2

，x₂=

-a+ a2-4

2

，------------5分
若a＞2，則x₁＜0，又x₁x₂=1＞0，所以x₂＜0，故h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增；--------------------------------6分
若a＜-2，則x₂＞0，又x₁x₂=1＞0所以x₁＞0，此時，當x∈（0，x₁）時，h′（x）＞0，
當x∈（x₁，x₂）時，h′（x）＜0，當x∈（x₂，+∞）時，h′（x）＞0，
故h（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減；--------------7分
綜上所述，當a≥-2時，h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜-2時，h（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減；--------------8分
（2）f′（x）=

a

x

+

1

x2

=

ax+1

x2

（x＞0），
當a=0時，f（x）=-

1

x

=0無實數(shù)根，此時函數(shù)f（x）無零點；-----------------------------------9分
當a＞0時，f′（x）＞0，f（1）=-1＜0，而f（e

1

a

）=1-e-

1

a

＞0，
根據零點的存在性定理，f（x）在（0，+∞）上只有唯一的零點，------------------------------11分
當a＜0時，x∈（0，-

1

a

）時，f′（x）＞0，x∈（-

1

a

，+∞時，f′（x）＜0，
故f（x）有極大值，也是最大值f（-

1

a

），
又x→0或x→+∞時，f（x）→-∞，
因此f（x）有唯一零點等價于其最大值為f（-

1

a

）=0，即aln（-

1

a

）+a=0，解得a=-e．
綜上所述，若函數(shù)f（x）有唯一的零點則a的取值范圍是a=-e或a＞0．----------------------------14分

點評：本題考查了函數(shù)導數(shù)與單調性、極值、最值、函數(shù)零點等基礎知識，考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結合思想，轉化與化歸思想以及考生的推理論證能力．