Question

已知函數f（x）的定義域為D，若它的值域是D的子集，則稱f（x）在D上封閉．
（Ⅰ）試判斷f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封閉；
（Ⅱ）設f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），求證：f_n（x）在D上封閉的充分條件是f₁（x）在D上封閉；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中f_n（x）（n∈N^*）的定義域均為D，那么f₁（x）在D上封閉是f_n（x）在D上封閉的必要條件嗎？證明你的結論．

Answer 1

考點：反證法,指數函數綜合題,對數函數圖象與性質的綜合應用,反證法的應用

專題：推理和證明

分析：（Ⅰ）根據函數封閉的定義封閉求出兩個函數的值域即可判斷f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封閉；
（Ⅱ）根據封閉的定義，結合充要條件即可證明f_n（x）在D上封閉的充分條件是f₁（x）在D上封閉；
（Ⅲ）利用反證法即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）當x＞1時，f（x）=2^x∈（2，+∞），f（x）在（1，+∞）上封閉，
g（x）=log₂x∈（0，+∞），g（x）在（1，+∞）上不封閉；
（Ⅱ）設f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），
任取x∈D，∵f₁（x）在D上封閉，∴f₂（x）=f（f₁（x））∈D，
…
f_n（x）=f（f_n-1（x）））∈D，
∴f_n（x）在D上封閉的充分條件是f₁（x）在D上封閉；
（Ⅲ）是必要條件．（反證法）
假設f_n（x）在D上不封閉，即存在x₀∈D，使得f（x₀）∉D，
那么f₂（x₀）=f（f₁（x₀））無意義，這與f_n（x）（n∈N^*）的定義域均為D矛盾，
故假設不成立，
即f₁（x）在D上封閉是f_n（x）在D上封閉的必要條件．

點評：本題主要考查函數值域的求法，以及與函數有關的新定義，利用反證法是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．