Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，a2=2，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)．
（Ⅰ）求證：{

an+1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設gn(x)=

anxn-1

(n-1)!

，f（x）=g₁（x）+g₂（x）+g₃（x）+…+g_n（x），求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求證：對?n∈N₊，不等式f(2)＜

3

n

gn(3)恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

an+1

an

=

an

an-1

+1，由此能證明{

an+1

an

}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an+1

an

=n+1，從而得到gn(x)=

anxn-1

(n-1)!

=nx^n-1，由此利用分類討論思想和錯位相減法能求出f（x）的解析式．
（Ⅲ）由已知條件推導出f(2)=

1-2n

(1-2)2

-

n2n

1-2

=(n-1)2n+1，

3

n

gn(3)=3n，由此利用數(shù)學歸納法能證明對?n∈N₊，不等式f(2)＜

3

n

gn(3)恒成立．

解答： （Ⅰ）證明：∵an+1an-1=anan-1+an2，
∴

an+1

an

=

an

an-1

+1，∴

an+1

an

-

an

an-1

=1，
∴{

an+1

an

}是公差是1的等差數(shù)列．…（4分）
（Ⅱ）解：∵a₁=1，a₂=2，{

an+1

an

}是公差是1的等差數(shù)列，
∴

an+1

an

=n+1，
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=n•（n-1）…2•1=n!…（6分）
∴gn(x)=

anxn-1

(n-1)!

=nx^n-1，
∴當x=1時，f(x)=f(1)=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

…（7分）
當x≠1時，f（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1．①
xf（x）=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ．②
①-②，得：（1-x）f（x）=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=

1-xn

1-x

-nxn，
∴f(x)=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

，…（9分）
綜上所述：f(x)=

n(n+1) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠1

．…（10分）
（Ⅲ）∵x≠1，∴f(2)=

1-2n

(1-2)2

-

n2n

1-2

=(n-1)2n+1，
又∵

3

n

gn(3)=3n，
∴驗證知當n=1，2，3時不等式成立…（11分）
假設n=k（k＞3），不等式成立，即3^k＞（k-1）2^k+1，
兩邊乘以3得：3^k+1＞3（k-1）2^k+3=k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k•2^k+1+2，
又∵3（k-1）2^k-k•2^k+1+2=2^k（3k-3-2k）+2=（k-3）2^k+2＞0，
∴3^k+1＞k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2＞k•2^k+1+1，
即n=k+1時不等式成立．故不等式恒成立．…（13分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查函數(shù)解析式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意錯位相減法和數(shù)學歸納法的合理運用．