Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實常數(shù)）．
（ I）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ II）設f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，求出f（x）的表達式，然后作圖寫出單調(diào)區(qū)間即可．
（Ⅱ）當x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1．通過a=0，a≠0，當a＜0時，$a＞\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$時，0$＜a＜\frac{1}{4}$時，分別求解函數(shù)的最小值，得到函數(shù)的解析式．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+1，x＜0}\\{{x}^{2}-x+1，x≥0}\end{array}\right.$．作圖（如右所示）
增區(qū)間$[-\frac{1}{2}，0]$，$[\frac{1}{2}，+∞）$，減區(qū)間$（-∞，-\frac{1}{2}]$，$[0，\frac{1}{2}]$------（4分）
（Ⅱ）當x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=-3----------------（5分）
若a≠0，則$f（x）=a{（x-\frac{1}{2a}）^2}+2a-\frac{1}{4a}-1$，f（x）圖象的對稱軸是直線$x=\frac{1}{2a}$．
當a＜0時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3，--------（6分）
當$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$時，f（x）在區(qū)間[1，2]上時增函數(shù)，g（a）=f（1）=3a-2--------（7分）
當$1≤\frac{1}{2a}≤2$，即$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$時，$g（a）=f（\frac{1}{2a}）=2a-\frac{1}{4a}-1$，------（8分）
當$\frac{1}{2a}＞2$，即0$＜a＜\frac{1}{4}$時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．------（9分）
綜上可得$g（a）=\left\{\begin{array}{l}6a-3，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;當a＜\frac{1}{4}\\ 2a-\frac{1}{4a}-1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;當\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}\\ 3a-2，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;當a＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$．------（10分）．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)的應用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應用，考查計算能力．