分析 (1)由已知數(shù)列首項(xiàng)及數(shù)列遞推式可得a2,a3;
(2)由數(shù)列遞推式可得3Sn-1=-1-an(n≥2),與原遞推式作差可得數(shù)列{an}自第二項(xiàng)起構(gòu)成以-2為公比的等比數(shù)列,則數(shù)列通項(xiàng)公式可求;
(3)把數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入bn=an2+an,求得bn,代入1b2+1b3+1b4+…+1bn,放縮后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和證得結(jié)論.
解答 (1)解:∵a1=-53,3Sn=-1-an+1,
∴3a1=-1-a2,解得a2=4,
3(a1+a2)=-1-a3,解得a3=-8;
(2)解:由3Sn=-1-an+1,
得3Sn-1=-1-an(n≥2),兩式作差得:
3an=an-an+1,即an+1=-2an(n≥2).
∴數(shù)列{an}自第二項(xiàng)起構(gòu)成以-2為公比的等比數(shù)列,
∴an={−53,n=1(−2)n,n≥2;
(3)證明:∵bn=an2+an=(-2)2n+(-2)n=4n+(-2)n(n≥2).
∴1b2+1b3+1b4+…+1bn=142+22+143−23+…+14n+(−2)n
=122(22+1)+123(23−1)+…<124+125+128+129+…=1161−116+1321−116=110.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式,是中檔題.
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A. | {0} | B. | {1} | C. | {0,1} | D. | {0,1,2,3,4} |
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