Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，，，由頂點沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點的最短路線與棱的交點記為，求：

（1）三棱柱的側(cè)面展開科的對角線長；

（2）該最短路線的長及的值；

（3）平面與平面所成二面角（銳角）的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最短路線的長為，此時；（3）

【解析】

（1）易知正三棱柱的側(cè)面展開圖是長為6,寬為2的矩形,進(jìn)而求解即可；

（2）畫出展開圖,點運動到點的位置,由展開圖可知為最短路徑,進(jìn)而求解即可；

（3）連接,則是平面與平面的交線,由的性質(zhì)可得,再由平面平面,平面平面,可進(jìn)一步得到,則是平面與平面所成二面角的平面角（銳角）,進(jìn)而求解即可

（1）正三棱柱的側(cè)面展開圖是長為6,寬為2的矩形,其對角線長為

（2）如圖,將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平面上,點運動到點的位置,連接交于,則是由頂點沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點的最短路線,

∴,

∵,,,

∴,∴,故,

即最短路線的長為,此時

（3）如圖,連接,則是平面與平面的交線,

在中,,

∴.

又∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面,∴,∴是平面與平面所成二面角的平面角（銳角）,

∵側(cè)面是正方形,∴,

故平面與平面所成的二面角（銳角）為.