Question

15．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2^n-1+k，則f（x）=x³-kx²-2x+1的極大值為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出k的值，從而求出f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的極大值即可．

解答 解：根據(jù)S_n=2^n-1+k，得到a₁=k，S_n-1=2^n-2+k，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2^n-1+k）-（2^n-2+k）=2^n-1-2^n-2=2^n-2（2-1）=2^n-2，n≥2，
再根據(jù){a_n}是等比數(shù)列，所以{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則k的值為-$\frac{1}{2}$，
f（x）=x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
f′（x）=3x²+x-2=（3x-2）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{2}{3}$，
故f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，$\frac{2}{3}$）遞減，在（$\frac{2}{3}$，+∞）遞增，
故f（x）的極大值是f（-1）=$\frac{5}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題．