Question

已知橢圓：的離心率為且與雙曲線：有共同焦點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點(diǎn)作的切線，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)橢圓上的一點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足，，連結(jié)交于點(diǎn)，求證：.

Answer 1

（1）；（2）2；（3）證明詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）有離心率，求得 (s)，由公共焦點(diǎn)得即 (t),解由（s）（t）組成的方程組即可.
（2）設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程中，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其判別式等于零，可得,在求出直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，寫(xiě)出圍成的三角形的面積，再把代入，即可最的最小值.
（3），設(shè)，，求出的坐標(biāo)，由向量平行的充要條件可得，在求出直線AC的方程，整理得，然后求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.
試題解析：（1）由可得：即
①         2分
又即②聯(lián)立①②解得：
橢圓的方程為：        3分
（2）與橢圓相切于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線的斜率必存在且為負(fù)
設(shè)直線的方程為：
聯(lián)立消去整理可得：
③，      4分
根據(jù)題意可得方程③只有一實(shí)根，
整理可得：④      6分
直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為且      7分
與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積⑤，      8分
④代入⑤可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）    9分
（3）由（1）得，設(shè)，
，可設(shè)，
由可得：即    11分
直線的方程為：整理得：
點(diǎn)在上，令代入直線的方程可得：，    13分
即點(diǎn)的坐標(biāo)為為的中點(diǎn)    14分，設(shè)，，求出的坐標(biāo)，由向量平行的充要條件可得，在求出直線AC的方程，整理得，然后求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.