Question

如圖所示，過(guò)拋物線y=

1

4

x²的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線和圓x²+（y-1）²=1交于A，B，C，D四點(diǎn)，則

AB

•

DC

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,拋物線的定義

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：通過(guò)求拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)和圓心坐標(biāo)，會(huì)發(fā)現(xiàn)圓心在焦點(diǎn)上，所以由圖可得：|

AB

|=|AF|-1，根據(jù)拋物線的定義，A點(diǎn)到F的距離，等于它到準(zhǔn)線的距離，所以|AF|=y_A+1，所以就得到|

AB

|=yA；同樣的辦法去表示|

DC

|，會(huì)得出|

DC

|=yD，所以

AB

•

DC

=-yA•yD，所以到這你會(huì)想到根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)直線l的斜率為k，求出方程為y=kx+1，在這需要解x帶人拋物線方程，這時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)需要討論k=0和k≠0，到這下邊的就比較簡(jiǎn)單了．

解答： 解：拋物線y=

1

4

x²的焦點(diǎn)為：（0，1），準(zhǔn)線方程是：y=-1，圓x²+（y-1）²=1的圓心是：（0，1），半徑：1，所以圓心在焦點(diǎn)上，所以：
|

AB|

=|AF|-|BF|=y_A，|

DC

|=|DF|-|CF|=y_D所以

AB

•

DC

=-|

AB

||

DC

|=-yA•yD則：
當(dāng)直線l垂直于y軸時(shí)，y_A=y_D=1，所以

AB

•

DC

=-1；
當(dāng)直線l不垂直y軸時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，且k≠0，則直線方程為y=kx+1，所以x=

y-1

k

，帶入拋物線方程并整理得：y²-（2+4k²）y+1=0；
由根與系數(shù)的關(guān)系得：y₁•y₂₌₁，所以

AB

•

DC

=-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題比較巧的地方是|

AB

|=|AF|-|BF|， 同樣|

DC

|=|DF|-|CF|，知道這點(diǎn)，這道題基本就可求解出來(lái)了．