Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，點(diǎn)P在底面ABCD上的射影為△ACD的重心，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PCA⊥平面PBD
（2）求直線DM與平面CBM所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)CD的中點(diǎn)為O，分別以O(shè)A、OC為x軸、y軸，過O點(diǎn)垂直平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面PCA⊥平面PBD．
（2）求出平面CBM的法向量，利用向量法能求出直線DM與平面CBM所成角的余弦值．

解答： （1）證明：設(shè)CD的中點(diǎn)為O，分別以O(shè)A、OC為x軸、y軸，
過O點(diǎn)垂直平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（

3

，0，0），B（

3

，2，0），C（0，1，0），
D（0，-1，0），P（

3

3

，0，

2 6

3

），M（

2 3

3

，1，

6

3

），

CA

=（

3

，-1，0），

CP

=（

3

3

，-1，

2 6

3

），
設(shè)平面PCA的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • CA = 3 x-y=0 n • CP = 3 3 x-y+ 2 6 3 z=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，3，

6

2

），

BD

=（-

3

，-3，0），

DP

=（

3

3

，1，

2 6

3

），
設(shè)平面PBD的法向量

m

=（a，b，c），同理，得

m

=（

3

，-1，0），
∵

n

•

m

=3-3+0=0，
∴平面PCA⊥平面PBD．
（2）

CB

=(

3

，1，0)，

CM

=(

2 3

3

，0，

6

3

)，

DM

=(

2 3

3

，2，

6

3

)，
平面CBM的法向量

p

=（p，q，r），
則

p • CB = 3 p+q=0 p • CM = 2 3 3 p+ 6 3 r=0

，取p=

3

，得

p

=（

3

，-3，-

6

），
設(shè)直線DM與平面CBM所成角為θ，
sinθ=|cos＜

DM

，

p

＞|=|

2-6-2

18 • 6

|=

3

3

，
∴cosθ=

6

3

．
∴直線DM與平面CBM所成角的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．