Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和胃S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若從數(shù)列{a_n}中依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第8項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)，…，按原來(lái)順序組成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則
∵S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，
∴3a₁+3d+5a₁+10d=50，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∵公差d≠0，∴a₁=3，d=2
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n+1；
（2）據(jù)題意得b_n==2×2ⁿ+1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和公式：T_n=（2×2+1）+（2×2²+1）+…+（2×2ⁿ+1）=2×（2+2²+…+2ⁿ）+n=2×+n=2ⁿ⁺²+n-4．
分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，利用S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，建立方程，求出首項(xiàng)與公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定新數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用分組求和，即可求T_n的表達(dá)式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查由等差數(shù)列的性質(zhì)求其通項(xiàng)，考查利用分組求和的技巧求新數(shù)列的和，其特征是一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)如果一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)，則可以采用分組的方法求和．