Question

若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數(shù)有“飄移點”x₀．
（1）函數(shù)f（x）=

1

x

是否有“飄移點”？請說明理由；
（2）證明函數(shù)f（x）=x²+2^x在（0，1）上有“飄移點”；
（3）若函數(shù)f（x）=lg（

a

x2+1

）在（0，+∞）上有“飄移點”，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）按照“飄移點”的概念，只需方程有根即可，據(jù)此判斷；
（2）本問利用零點定理即可判斷，即判斷端點處的函數(shù)值異號；
（3）若函數(shù)在（0，+∞）上有飄移點，只需方程在該區(qū)間上有實根，然后借助于二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決．

解答： 解：（1）假設函數(shù)f(x)=

1

x

有“飄移點”x₀，則

1

x0+1

=

1

x0

+1即x02+x0+1=0由此方程無實根，與題設矛盾，所以函數(shù)f(x)=

1

x

沒有飄移點．                
（2）令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2^x-1+x-1），所以h（0）=-1，h（1）=2．所以h（0）h（1）＜0．
所以h(x)=0在(0，1)上至少有一實根x0，即函數(shù)f(x)=2x+x2有“飄移點”．
（3）若f(x)=1g(

a

x2+1

)在(0，+∞)上有飄移點x₀，
所以lg

a

(x0+1)2

=lg(

a

x02+1

)+lg

a

2

成立，即

a

(x0+1)2+1

=

a

x02+1

•

a

2

整理得(2-a)x02-2ax0+2-2a=0，從而關(guān)于x的方程g（x）=（2-a）x²-2ax+2-2a在（0，+∞）上應有實數(shù)根x₀．
當a=2時，方程的根為-

1

2

，不符合要求，所以a＞0，
當0＜a＜2時，由于函數(shù)g（x）的對稱軸x=

a

2-a

＞0，可知只需4a²-4（2-a）（2-2a）≥0，
所以3-

5

≤a≤3+

5

，即3-

5

≤a＜2．
所以a的范圍是[3-

5

，2）．

點評：本題考查了函數(shù)的方程與函數(shù)間的關(guān)系，即利用函數(shù)思想解決方程根的問題，利用方程思想解決函數(shù)的零點問題，要注意體會．