Question

已知函數(shù)：f（x）=asin2x+cos2x且f（

π

3

）=

3 -1

2

．
（1）求a的值和f（x）的最大值；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）把x=

π

3

代入函數(shù)f（x）的解析式即可求得a值，然后把f（x）的解析式利用兩角和的正弦公式化成標(biāo)準(zhǔn)形式求f）x）的最大值；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（

π

3

）=asin

2π

3

+cos

2π

3

=

3

2

a-

1

2

=

3 -1

2

．
∴a=1
f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）
∴函數(shù)f（x）的最大值為

2

；
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求三角函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的最值和單調(diào)性求解．