Question

已知函數(shù)（為常數(shù)）．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若，且對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

解析試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式并求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合函數(shù)的定義域便可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為“對任意時(shí)，恒成立”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，圍繞這個(gè)核心問題結(jié)合分類討論的思想求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/f3/7/1uccm2.png" style="vertical-align:middle;" />，，
當(dāng)時(shí)，，                           2分
由及，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為      4分
（2）設(shè)，
因?yàn)閷θ我獾?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/f0/5/1xc0y4.png" style="vertical-align:middle;" />，恒成立，所以恒成立，
，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/96/5/uueqf1.png" style="vertical-align:middle;" />，令，得，，                7分
①當(dāng)，即時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/46/a/atyxv1.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)閷θ我獾?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/f0/5/1xc0y4.png" style="vertical-align:middle;" />，恒成立，
所以時(shí)，，即，
解得，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/8c/6/9gptw1.png" style="vertical-align:middle;" />。所以此時(shí)不存在；            10分
②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/f6/4/1mh3z2.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)閷θ我獾?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/f0/5/1xc0y4.png" style="vertical-align:middle;" />，恒成立，所以，且，
即，解得，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/60/b/hjjak4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以此時(shí)；                 13分
③當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/46/a/atyxv1.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，由于，符合題意；            15分
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是                      16分
考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)數(shù)、不等式恒成立、分類討論