Question

已知函數(shù)f（x）=

nx

x+m

的值域為（-∞，1）∪（1，+∞），且f（2）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＜

2x2

x-1

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過分離常數(shù)的方法將原函數(shù)變成f（x）=n-

nm

x+m

，所以f（x）≠n，因為已知f（x）≠1，所以n=1，所以f（x）=

x

x+m

，在根據(jù)f（2）=2便可求出m=-1，所以f（x）的解析式便求得為f（x）=

x

x-1

；
（2）帶入f（x）便可得到不等式：

x

x-1

＜

2x2

x-1

，所以這時需討論x-1＞0，和x-1＜0兩種情況，這樣不等式兩邊同乘以x-1即可將分式不等式變成整式不等式并求解即可．

解答： 解：（1）f（x）=

n(x+m)-nm

x+m

=n-

nm

x+m

，∴f（x）≠n，由已知的f（x）值域知f（x）≠1；
∴n=1，f（x）=

x

x+m

，又f（2）=2，所以：

2

2+m

=2，∴m=-1；
∴f（x）=

x

x-1

；
（2）解

x

x-1

＜

2x2

x-1

：
若x＞1，由該不等式得x＜2x²，解得x＞

1

2

，或x＜0，∴x＞1；
若x＜1，x＞2x²，解得0＜x＜

1

2

，∴0＜x＜

1

2

；
∴原不等式的解為(0，

1

2

)∪(1，+∞)．

點評：考查函數(shù)值域的概念，以及分離常數(shù)法求值域，不等式兩邊同乘以一個式子需討論式子的符號．