Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx＞cosx}\\{cosx，sinx≤cosx}\end{array}\right.$，關(guān)于f（x）的敘述
①最小正周期為2π
②有最大值1和最小值-1
③對(duì)稱軸為直線$x=kπ+\frac{π}{4}（{k∈Z}）$
④對(duì)稱中心為$（{kπ+\frac{π}{4}，0}）（k∈Z）$
⑤在$[{\frac{π}{2}，π}]$上單調(diào)遞減
其中正確的命題序號(hào)是①③⑤．（把所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 解：畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx＞cosx}\\{cosx，sinx≤cosx}\end{array}\right.$的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx＞cosx}\\{cosx，sinx≤cosx}\end{array}\right.$，表示取sinx和cosx中值較小的，它的圖象如圖中紅色部分所示：
而sinx和cosx都是周期為2π的函數(shù)，∴f（x）的最小正周期為2π，故①正確．
結(jié)合f（x）的圖象可得f（x）的最大值為1，最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故②錯(cuò)誤．
結(jié)合f（x）的圖象可得f（x）的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（x）的圖象的對(duì)稱軸為直線$x=kπ+\frac{π}{4}（{k∈Z}）$，
故③正確，④錯(cuò)誤．
函數(shù)f（x）在$[{\frac{π}{2}，π}]$上單調(diào)遞減，故⑤正確，
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．