已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,過(guò)F作直線l交拋物線于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在x軸上方.
(1)求yAyB的值,當(dāng)|AB|=8時(shí),求直線l的方程;
(2)設(shè)P(-1,0),求證:直線PA,PB的斜率之和為0;
(3)設(shè)Q(2,0),AQ的延長(zhǎng)線交拋物線于C,BC的中點(diǎn)為D,當(dāng)直線DF在y軸上的截距的取值范圍是(
2
3
,2),求yA取值范圍.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)設(shè)l:y=k(x-1),由
y=k(x-1)
y2=4x
,得y2-
4
k
y-4=0
,由韋達(dá)定理和橢圓弦長(zhǎng)公式能求出直線l的方程.
(2)由yAyB=-4,和得kPA+kPB=
yA
xA+1
+
yB
xB+1
=0,由此能證明直線PA,PB的斜率之和為0.
(3)由(1)得C(
16
yA2
,
-8
yA
),B(
4
yA2
-4
yA
),從而D(
10
yA2
-6
yA
),DF:y=
6yA
yA2-10
(x-1),由此能求出yA取值范圍.
解答: (1)解:由直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)知直線l的斜率不為零,
當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí),設(shè)l:y=k(x-1),
y=k(x-1)
y2=4x
,得y2-
4
k
y-4=0
,
∴yAyB=-4,yA+yB=
4
k

當(dāng)l斜率不存在時(shí),yAyB=-4,∴yAyB=-4,
|AB|=
1+
1
k2
|y1-y2|=
1+
1
k2
(y1+y2)2-4y1y2
=8,
解得k=±1,
∴直線l的方程為:y=x-1或y=x+1.
(2)證明:∵yAyB=-4,
∴kPA+kPB=
yA
xA+1
+
yB
xB+1
,
=
(yA+yB)(1+
yAyB
4
)
(xA+1)(xB+1)
=0,
∴直線PA,PB的斜率之和為0.
(3)解:由(1)得C(
16
yA2
,
-8
yA
),B(
4
yA2
-4
yA
),
∴D(
10
yA2
,
-6
yA
),∴DF:y=
6yA
yA2-10
(x-1),
令x=0,得
-6yA
yA2-10
∈(
2
3
,2)
,∴yA∈(1,2),
∴yA取值范圍是(1,2).
點(diǎn)評(píng):本題考查直線方程的求法,考查兩直線的斜率之和為0的證明,考查點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到定直線x+2=0的距離少1.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ的方程;
(2)設(shè)A(橫坐標(biāo)大于1)、B(縱坐標(biāo)大于0)為軌跡Γ上的相異兩點(diǎn),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得
AB
AF
且|AB|=
16
3
,若存在,求出λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)定義于閉區(qū)間[0,1],滿足f(0)=0,f(1)=1,且對(duì)任意x,y∈[0,1],x≤y,都有f(
x+y
2
)=(1-a2)f(x)+a2f(y),其中常數(shù)a滿足0<a<1,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3+a1+a3=140,a1=31.
(1)求通項(xiàng)公式an;
(2)設(shè)Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn;
(3)是否存在最大的正整數(shù)λ,使得對(duì)任意n∈N*,都有
λ|an-34|+24
Tn
≤1?若存在,求出最大的正整數(shù)λ;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式:3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(其中t>0,n=2,3,4,…)
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t),作數(shù)列{bn},使b1=1,bn=f
1
bn-1
)(n=2,3,4…),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn
(Ⅲ)設(shè)Tn=b1b2-b2b3+b3b4 -b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)的離心率為
5
3
,F(xiàn)1、F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P(
3
2
,m)是橢圓上一點(diǎn),且
PF1
PF2
=
1
4

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)Q(2,0)的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)
OM
=
OA
+
OB
,且|
OM
|=|
AB
|,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(cosα,sinα),
b
=(cosβ,sinβ),|
a
-
b
|=
2
5
5

(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-
π
2
<β<0<α<
π
2
,且sinβ=-
5
13
,求sinα的值.

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已知函數(shù)y=x2+2ax+1,當(dāng)0≤x≤2時(shí)該函數(shù)的值域?yàn)?div id="jqfszlp" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

x2+3x2
=-x
x+3
,則x的取值范圍為
 

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