Question

已知函數(shù)y=x²+2ax+1，當(dāng)0≤x≤2時該函數(shù)的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可知y=x²+2ax+1的圖象開口向上，對稱軸為x=-a，分類討論可得．

解答： 解：y=x²+2ax+1的圖象開口向上，對稱軸為x=-a，
①當(dāng)-a＜0，即a＞0時，y=x²+2ax+1在[0，2]上單調(diào)遞增，
由二次函數(shù)可知y_min=1，y_max=5+4a，
∴函數(shù)的值域為[1，5+4a]；
②當(dāng)-a＞2即a＜-2時，函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞減，
由二次函數(shù)可知y_min=5+4a，y_max=1，
∴函數(shù)的值域為[5+4a，1]；
③當(dāng)0≤-a≤1即-1≤a≤0時，y=x²+2ax+1在[0，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，2]上單調(diào)遞增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=5+4a，
此時函數(shù)的值域為[1-a²，5+4a]；
④當(dāng)1＜-a≤2，即-2≤a＜-1時，y=x²+2ax+1在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=1，
此時函數(shù)的值域為[1-a²，1]；
故答案為：當(dāng)a＞0時，函數(shù)的值域為[1，5+4a]，
當(dāng)a＜-2時，函數(shù)的值域為[5+4a，1]；
當(dāng)-1≤a≤0時，函數(shù)的值域為[1-a²，5+4a]；
當(dāng)-2≤a＜-1時，函數(shù)的值域為[1-a²，1]．

點評：本題考查函數(shù)的值域，涉及分類討論的思想，屬中檔題．