Question

在面積為2的等腰直角△ABC中，E，F(xiàn)分別為直角邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段EF上，則

PB

•

PC

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：由面積為2，求得腰長(zhǎng)為2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線為x，y軸建立坐標(biāo)系．求得B，C，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，設(shè)P的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值，配方即可得到最小值．

解答： 解：等腰直角△ABC的面積為2，則

1

2

AB²=2，則AB=2，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線為x，y軸建立坐標(biāo)系．
即有B（2，0），C（0，2），
E，F(xiàn)分別為直角邊AB，AC的中點(diǎn)，
則E（1，0），F(xiàn)（0，1），
設(shè)P（m，n），且m+n=1，
則

PB

=（2-m，-n），

PC

=（-m，2-n），

PB

•

PC

=-m（2-m）-n（2-n）=m²+n²-2m-2n
=（m+n）²-2mn-2（m+n）=1-2mn-2=-1-2mn
=-1-2m（1-m）=-1+2（m-

1

2

）²-

1

2

≥-

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m=

1

2

時(shí)，取得最小值，且為-

3

2

．
故答案為：-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查二次函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．