Question

已知a，b，c，d∈R，求證：

ac＋bd≤.(你能用幾種方法證明？)

Answer 1

證明　方法一　(用分析法)

①當ac＋bd≤0時，顯然成立．

②當ac＋bd>0時，欲證原不等式成立，只需證

(ac＋bd)²≤(a²＋b²)(c²＋d²)．

即證a²c²＋2abcd＋b²d²≤a²c²＋a²d²＋b²c²＋b²d².

即證2abcd≤b²c²＋a²d².

即證0≤(bc－ad)².

因為a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．

故原不等式成立，綜合①②知，命題得證．

方法二　(用綜合法)

(a²＋b²)(c²＋d²)＝a²c²＋a²d²＋b²c²＋b²d²

＝(a²c²＋2acbd＋b²d²)＋(b²c²－2bcad＋a²d²)

＝(ac＋bd)²＋(bc－ad)²≥(ac＋bd)².

∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.

方法三　(用比較法)

∵(a²＋b²)(c²＋d²)－(ac＋bd)²

＝(bc－ad)²≥0，

∴(a²＋b²)(c²＋d²)≥(ac＋bd)²，

∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.

方法四　(用放縮法)

為了避免討論，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以試證(ac＋bd)²≤ (a²＋b²)(c²＋d²)．

由方法一知上式成立，從而方法四可行．

方法五　(構(gòu)造向量法)

設(shè)m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，