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如圖，已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，點M是邊BC上的動點，動點N滿足∠MAN=30°，
AM
•
AN
=3（點A，M，N按逆時針方向排列）．
（1）若
AN
=λ
AC
（λ＞0），求BN的長；
（2）求△ABN面積的最大值．
考點：正弦定理
專題：綜合題,解三角形
分析：（1）利用△ABC的面積等于△ABM與△ACM面積的和，求出AM，利用∠MAN=30°，
AM
•
AN
=3，求出AN，利用余弦定理，計算BN的長；
（2）表示出△ABN面積，利用輔助角公式化簡，即可求△ABN面積的最大值．
解答： 解：（1）由
AN
=λ
AC
（λ＞0），得點N在射線AC上，∠BAM=90°，
因為△ABC的面積等于△ABM與△ACM面積的和，
所以
1
2
AB•AM+
1
2
AC•AM•sin30°=
1
2
AB•ACsin120°，得：AM=
3
2
，…（3分）
又∠MAN=30°，
AM
•
AN
=3，
所以AM•ANcos30°=3，即AN=4，
所以BN=
1+16-2×1×4cos120°
=
21
，即BN=
21
；…（6分）
（2）設∠BAM=x，則∠CAM=120°-x，
因為△ABC的面積等于△ABM與△ACM面積的和，
所以
1
2
AB•AMsinx+
1
2
AC•AM•sin（120°-x）=
1
2
AB•ACsin120°，
得：AM=
3
2(sinx+
3
cosx)
，…（7分）
又∠MAN=30°，
AM
•
AN
=3，
所以AM•ANcos30°=3，即AN=4sinx+2
3
cosx，
所以△ABN的面積S=
1
2
（4sinx+2
3
cosx）sin（x+30°）
=
5
4
sin2x-
3
4
cos2x+
3
3
4
=
2
7
4
sin（2x-φ）+
3
3
4
 …（10分）
（其中：sinφ=
3
2
7
，cosφ=
5
2
7
，φ，為銳角），
所以當2x-φ=90°時，△ABN的面積最大，最大值是
2
7
4
+
3
3
4
．…（12分）
點評：本題考查正弦、余弦定理的運用，考查三角形面積的計算，考查輔助角公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若復數z滿足zi=4-5i（其中i為虛數單位），則復數z為（　　）
A、5-4iB、-5+4i
C、5+4iD、-5-4i

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科目：高中數學 來源： 題型：

填表：
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
角α的弧度數
sinα
cosα
tanα

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x-1的反函數為y=f-1（x），記g（x）=f-1（x-1）．
（1）求函數y=2f-1（x）-g（x）的最小值；
（2）若函數F（x）=2f-1（x+m）-g（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調遞增函數，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）的最大值為2，且f（1）=f（3）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，EA⊥平面ABC，FC∥EA，EA=FC=AB=a．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）證明五點A、B、C、E、F在同一個球面上，并求A、F兩點的球面距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設A，B是橢圓W：
x2
4
+
y2
3
=1上不關于坐標軸對稱的兩個點，直線AB交x軸于點M（與點A，B不重合），O為坐標原點．
（Ⅰ）如果點M是橢圓W的右焦點，線段MB的中點在y軸上，求直線AB的方程；
（Ⅱ）設N為x軸上一點，且
OM
•
ON
=4，直線AN與橢圓W的另外一個交點為C，證明：點B與點C關x軸對稱．

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科目：高中數學 來源： 題型：

將函數y=sin（6x+
π
4
）的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移
π
8
個單位，得到函數f（x）．
（1）寫出f（x）的解析式
（2）求f（x）的對稱中心．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=
2
，DC=SD=2，點M在側棱SC上，∠ABM=60°．
（Ⅰ）證明：M是側棱SC的中點；
（Ⅱ）求二面角S-AM-B的余弦值．

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