Question

【題目】已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F與橢圓C的一個焦點重合，且拋物線的準線與橢圓C相交于點 ．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點F是否存在直線l與橢圓C交于M，N兩點，且以MN為對角線的正方形的第三個頂點恰在y軸上？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知， ，則p=2，

∴拋物線方程為y2=4x

（2）解：設橢圓方程為 ，

則 ，解得a2=2，b2=1．

∴橢圓C的方程為 ．

若l垂直于x軸，得M（1，﹣ ），N（1， ）， ，不符合；

若l不垂直于x軸，

設正方形第三個頂點坐標為P（0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）

令l：y=k（x﹣1）（k≠0），代入 ，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．

∴ ，

y1+y2=k（x1+x2）﹣2k= ，

則線段MN的中垂線方程為 ，

∴P（0， ）．

由 ，得x1x2+（y1﹣y0）（y2﹣y0）=0．

即 （y0≠0），∴ ，

又 ，∴ ，解得k= ．

∴直線l的方程為 ．

【解析】（1）由已知求得p，則拋物線方程可求；（2）設出橢圓方程，由已知列關于a，b，c的方程組，求得a，b的值，得到橢圓方程，當直線l的斜率不存在時，不合題意；當直線l的斜率存在時，設正方形第三個頂點坐標為P（0，y0），設出直線方程y=k（x﹣1）（k≠0），聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系結合 求得k值．