Question

已知函數(shù)f(x)＝x²＋alnx.

(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解　(1)由已知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)．

當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x²－2lnx，

所以f′(x)＝2x－＝，

則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，

所以(0,1)為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，(1，＋∞)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．

(2)由題意得g′(x)＝2x＋－，函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)．

(ⅰ)若函數(shù)g(x)為[1，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，

則g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，

即a≥－2x²在[1，＋∞)上恒成立，

設(shè)φ(x)＝－2x²，因?yàn)?i>φ(x)在[1，＋∞]上單調(diào)遞減，

所以φ(x)_max＝φ(1)＝0，所以a≥0.

(ⅱ)若函數(shù)g(x)為[1，＋∞)上的單調(diào)減函數(shù)，

則g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，＋∞)．