Question

定義在（-

π

2

，

π

2

）的函數(shù)f（x）=e^ax•tanx（a＞0）在x=

π

4

處切線斜率為6e^π．
（1）求a及f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

）時(shí)，f（x）≥mx恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a=4，再令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間．令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

）時(shí)，f（x）≥mx恒成立，即為e^4x•tanx-mx≥0對(duì)x∈[0，

π

2

）恒成立．令g（x）=e^4x•tanx-mx，求出導(dǎo)數(shù)，由定義域判斷tanx≥0，e^4x≥1，再對(duì)m討論，運(yùn)用單調(diào)性即可得到范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=e^ax•tanx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ae^ax•tanx+e^ax•sec²x，
由f（x）在x=

π

4

處切線斜率為6e^π．即有ae

π

4

a+2e

π

4

a=6e^π．
解得a=4，
即有f（x）=e^4x•tanx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=4e^4x•tanx+e^4x•sec²x
=e^4x•（4tanx+sec²x）=e^4x•（4tanx+1+tan²x），
由f′（x）=0可得tanx=-2+

3

或-2-

3

，
而x∈（-

π

2

，

π

2

），tan（-

π

12

）=-2+

3

，tan（-

5π

12

）=-2-

3

，
則有x₁=-

5π

12

，x₂=-

π

12

，
令f′（x）＞0可得-

5π

12

＜x＜-

π

12

，
令f′（x）＜0可得-

π

2

＜x＜-

5π

12

或-

π

12

＜x＜

π

2

，
即有f（x）的增區(qū)間為（-

5π

12

，-

π

12

），減區(qū)間為（-

π

2

，-

5π

12

），（-

π

12

，

π

2

）；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

）時(shí)，f（x）≥mx恒成立，
即為e^4x•tanx-mx≥0對(duì)x∈[0，

π

2

）恒成立．
令g（x）=e^4x•tanx-mx，g′（x）=4e^4x•tanx+e^4x•sec²x-m
=e^4x•（4tanx+1+tan²x）-m，
當(dāng)m≤0時(shí)，x∈[0，

π

2

）時(shí)，tanx≥0，e^4x≥1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取得最小值．
即有g(shù)′（x）≥0，g（x）在[0，

π

2

）遞增，
則g（x）≥g（0）=0恒成立．
當(dāng)m＞0時(shí)，g′（x）≥0不恒成立，即gg（x）在[0，

π

2

）不是遞增．
綜上可得，m的范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和求單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式的解法，以及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．