Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（-x²+b）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．由點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．可得f（0）=3，f′（0）=3．解得b，由f′（x）＜0，解出可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化為e^x（2x+3）≥m（x+1），由x∈（-1，+∞）時(shí)，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立?m≤

ex(2x+3)

x+1

的最小值．令h（x）=

ex(2x+3)

x+1

．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．
∵點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．
∴f（0）=3，f′（0）=3．
∴b=3，
∴f′（x）=e^x（-x²-2x+3）=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＜0，化為（x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞）；
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化為e^x（2x+3）≥m（x+1），
∵x∈（-1，+∞）時(shí)，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，
∴m≤

ex(2x+3)

x+1

．
令h（x）=

ex(2x+3)

x+1

．
則h′（x）=

ex(2x+5)(x+1)-ex(2x+3)

(x+1)2

=

ex(2x2+5x+2)

(x+1)2

=

ex(2x+1)(x+2)

(x+1)2

．
令h′（x）＞0，解得x＞-

1

2

，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得-1＜x＜-

1

2

，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值，h(-

1

2

)=

4

e

=

4 e

e

．
∴m≤

4 e

e

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，

4 e

e

]．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．