對于定義域為的函數(shù),如果同時滿足以下三條:①對任意的,總有;②;③若,都有成立,則稱函數(shù)為理想函數(shù).
(1) 若函數(shù)為理想函數(shù),求的值;
(2)判斷函數(shù)是否為理想函數(shù),并予以證明;
(3) 若函數(shù)為理想函數(shù),假定,使得,且,求證:.
(1).(2)理想函數(shù).
【解析】本題考查函數(shù)值的求法,解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)的中的隱含條件,注意性質(zhì)的靈活運用.
(1)取x1=x2=0可得f(0)≥f(0)+f(0)⇒f(0)≤0,由此可求出f(0)的值.
(2)g(x)=2x-1在[0,1]滿足條件①g(x)≥0,也滿足條件②g(1)=1.若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,滿足條件③,收此知故g(x)理想函數(shù).
(3)由條件③知,任給m、n∈[0,1],當m<n時,由m<n知n-m∈[0,1],f(n)=f(n-m+m)≥f(n-m)+f(m)≥f(m).由此能夠推導(dǎo)出f(x0)=x0
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
對于定義域為的函數(shù),若同時滿足:①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域為;那么把函數(shù)()叫做閉函數(shù).
(1) 求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間;
(2) 若是閉函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分14分)定義:對于函數(shù),.若對定義域內(nèi)的恒成立,則稱函數(shù)為函數(shù).(1)請舉出一個定義域為的函數(shù),并說明理由;(2)對于定義域為的函數(shù),求證:對于定義域內(nèi)的任意正數(shù),均有;
(3)對于值域的函數(shù),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆上海市盧灣區(qū)高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷(理科) 題型:解答題
對于定義域為的函數(shù),若有常數(shù)M,使得對任意的,存在唯一的滿足等式,則稱M為函數(shù)f (x)的“均值”.
(1)判斷1是否為函數(shù)≤≤的“均值”,請說明理由;
(2)若函數(shù)為常數(shù))存在“均值”,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)是單調(diào)函數(shù),且其值域為區(qū)間I.試探究函數(shù)的“均值”情況(是否存在、個數(shù)、大小等)與區(qū)間I之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論(不必證明).
說明:對于(3),將根據(jù)結(jié)論的完整性與一般性程度給予不同的評分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東省高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
對于定義域為的函數(shù),若存在區(qū)間,使得則稱區(qū)間M為函數(shù)的“等值區(qū)間”.給出下列三個函數(shù):
①; ②; ③
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年上海市崇明縣高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型:填空題
定義:對于定義域為的函數(shù),如果存在,使得成立,稱函數(shù)在上是“”函數(shù)。已知下列函數(shù):①;、;③();、,其中屬于“”函數(shù)的序號是 .(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號)
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