Question

設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令bn=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前n項和的定義即可得出；
（II）利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q＞1，
∵S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
∴

a1(1+q+q2)=7 6a1q=a1+3+a1q2+4

，解得

a1=1 q=2

∴an=a1qn-1=2n-1．．
（Ⅱ）由于bn=

n

an

=

n

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

2

21

+…+

n

2n-1

，
∴

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
兩式相減得：

1

2

Tn=1+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前n項和的定義、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．