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12.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足:anan+1=4n2-1(n∈N*).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=4nanan+12,證明b1+b2+…+bn12

分析 (1)由已知數(shù)列遞推式列式求得首項(xiàng)和公差,則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求;
(2)把數(shù)列通項(xiàng)公式代入bn=4nanan+12,然后利用裂項(xiàng)相消法求和證明.

解答 (1)解:設(shè){an}的公差為d,a1>0,
{a1a2=a1a1+d=3a2a3=a1+da1+2d=15,解得{a1=1d=2,
∴an=1+2(n-1)=2n-1;
(2)證明:n=4nanan+12=4n2n122n+12=12[12n1212n+12]
∴b1+b2+…+bn=12[(1132)+(132152)+…+(12n1212n+12)]
=12112n+1212

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,訓(xùn)練了數(shù)列不等式的證法,是中檔題.

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