Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2AB．
（1）證明：PC⊥AB；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出四邊形ABCD是菱形，從而得到CO⊥AB，AB⊥平面POC，由此能夠證明AB⊥PC．
（2）由已知條件推導(dǎo)出PO⊥平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，設(shè)AB的中點為O．連結(jié)PO，CO，
∵PA=PB，O是AB的中點，∴PO⊥AB，
∴四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，∴CO⊥AB，
∴AB⊥平面POC，
∵PC?平面POC，∴AB⊥PC．
（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PO⊥AB，PO?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
設(shè)AB=2，由（1）得PA=PB=4，PO=

15

，OC=

3

，
∴P（0，0，

15

），B（1，0，0），C（0，

3

，0），D（-2，

3

，0），
∴

BC

=(-1，

3

，0)，

CD

=(-2，0，0)，

CP

=(0，-

3

，

15

)，
設(shè)平面BCP的一個法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

BC

=0，

n

•

CP

=0，
∴

-x+ 3 y=0 - 3 y+ 15 z=0

，∴

n

=(

15

，

5

，1)，
設(shè)平面PCD的一個法向量為

m

=(x1，y1，z1)，則

m

•

CD

=0，

m

•

CP

=0，
∴

-2x1=0 - 3 y1+ 15 z1=0

，∴

m

=(0，

5

，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

5+1

21 • 6

=

14

7

，
∵二面角B-PC-D的平面角是鈍角，
∴二面角B-PC-D的余弦值為-

14

7

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．