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已知非負數a、b、c滿足a+b+c=1，證明：
ab
c+1
+
bc
a+1
+
ca
b+1
≤
1
4
．
考點：綜合法與分析法(選修）,不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應用
分析：通過重要不等式，a2+b2≥2ab證明
ab
c+1
≤
1
4
(
ab
a+c
+
ab
b+c
)，類似推出所證明不等式左側的兩個表達式，可以綜合法證明即可．
解答： 解：∵非負數a、b、c滿足a+b+c=1，
又a2+b2≥2ab，∴a2+b2+4c2+2ab+4bc+4ac≥4c2+4ab+4bc+4ac，
即（a+b+2c）2≥4（c2+ab+bc+ac）=4（a+c）（b+c），
∴
1
a+b+2c
≤
1
4
•
a+b+2c
(a+c)(b+c)
=
1
4
（
1
a+c
+
1
b+c
），
可得
ab
a+b+2c
≤
1
4
(
ab
a+c
+
ab
b+c
)，
即
ab
c+1
≤
1
4
(
ab
a+c
+
ab
b+c
)，
同理
bc
a+1
≤
1
4
(
bc
b+a
+
cb
c+a
)，
ac
b+1
≤
1
4
(
ca
a+b
+
ca
b+c
)，
∴
ab
c+1
+
bc
a+1
+
ca
b+1
≤
1
4
(
ab
a+c
+
ab
b+c
+
bc
b+a
+
cb
c+a
+
ca
a+b
+
ca
b+c
)=
1
4
(a+b+c)=
1
4
，
∴
ab
c+1
+
bc
a+1
+
ca
b+1
≤
1
4
．
點評：本題考查不等式的證明，綜合法的應用，解題的關鍵是分析所證明不等式的左側形式，開學分析問題解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設m，n為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，給出下列命題：
①若m∥α，m∥β，則α∥β；    
②若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m；
③若m⊥α，n⊥α，則m∥n；      
④若m⊥n，m⊥α，則n⊥α．
則其中所有真命題的序號是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2AB．
（1）證明：PC⊥AB；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A，B是海平面上的兩個小島，為測量A，B兩島間的距離，測量船以15海里/小時的速度沿既定直線CD航行，在t1時刻航行到C處，測得∠ACB=75°，∠ACD=120°，1小時后，測量船到達D處，測得∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A，B兩小島間的距離．（注：A、B、C、D四點共面）

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科目：高中數學 來源： 題型：

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2
2
，∠ABC=90°（如圖1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角為θ（如圖2）
（1）若θ=
π
2
，求證：CD⊥AB；
（2）是否存在適當θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在說明理由；
（3）若θ=
π
2
，取BD中點M，BC中點N，P、Q分別為線段AB與DN上一點，使得
AP
PB
=
NQ
QD
=λ(λ∈R)．令PQ與BD和AN所成的角分別為θ1和θ2．求sinθ1+sinθ2的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，且AB=2
3
．
（1）求證：AB∥平面CDM；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知|
p
|=8，|
q
|=6，
p
和
q
的夾角為30°，求|
p
-
q
|的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax-
4x-x2
，當x∈（0，4]時，f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，O是CD的中點，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2
3
．
（1）求證：MO∥面ABC；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

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