Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）法一：對任意，都有恒成立等價(jià)于在上恒成立， 即在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求得，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍；法二：要使恒成立，只需，對進(jìn)行和分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出，即可實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由題知： ,

當(dāng)時(shí), 在時(shí)恒成立

∴在上是增函數(shù).

當(dāng)時(shí), ,

令，得 ；令,得 .

∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).

（2）法一：由題知： 在上恒成立， 即在上恒成立.

令，所以

令得；令得.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴ ,

∴.

法二：要使恒成立，只需,

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增.

∴,即，這與矛盾，此時(shí)不成立.

當(dāng)時(shí),

（i）若即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

∴，即，這與矛盾，此時(shí)不成立.

（ii）若即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 .

∴即，解得.

又∵

∴ ,

（iii） 即時(shí)， 在 遞減，則,

∴

又∵

∴；

綜上所述可得： .