Question

【題目】過(guò)圓與軸正半軸的交點(diǎn)A作圓O的切線，M為上任意一點(diǎn)，過(guò)M作圓O的另一條切線，切點(diǎn)為Q．當(dāng)點(diǎn)M在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△MAQ的垂心的軌跡方程為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，，由于，是過(guò)點(diǎn)的圓的兩條切線，求出切點(diǎn)弦的方程，將其與圓的方程聯(lián)立，可以得到點(diǎn)坐標(biāo)，由于垂直于軸，于是垂線就垂直于軸，因此、橫坐標(biāo)相同．又、是圓的兩條切線，于是，因此可知過(guò)中點(diǎn)，而由圓的對(duì)稱性可知，也過(guò)的中點(diǎn)，于是可知、、三點(diǎn)共線．又直線的斜率知道了，點(diǎn)的橫坐標(biāo)知道了，于是點(diǎn)的縱坐標(biāo)也出來(lái)了，則垂心的軌跡可求．

解：由題意設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，，則以為直徑的圓的方程為，

又圓的方程為，兩式作差得：．

聯(lián)立，解得或．

則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

由于垂直于軸，于是垂線就垂直于軸，因此、橫坐標(biāo)相同．

又、是圓的兩條切線，于是，因此可知為三角形的垂心）過(guò)中點(diǎn)，

而由圓的對(duì)稱性可知，也過(guò)的中點(diǎn)，于是可知、、三點(diǎn)共線．

由直線的方程為，

代入點(diǎn)橫坐標(biāo)得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

三角形的垂心的軌跡方程為．

消掉得： ．

故答案為：